有没有抑郁？走两步！

实验场景示意图受访者供图

抑郁可反映在步态中

玩游戏可以治疗自闭症、抑郁症、老年痴呆？

在老一辈的认知里，电子游戏就是毒瘤般的存在。

它蚕食着一代青年的健康。

荒废学业、视力下降、性格孤僻、重复性劳损、午夜猝死，随口一说净是缺点。

确实，沉迷游戏必然是百害而无一利，无法反驳。

但是，电子游戏还真的没有我们想象的那么不堪。

抛开剂量谈毒性都是耍流氓，如果控制好时间，玩游戏还真的能带来不少益处。

随着越来越多的研究，电子游戏仿佛已有机会摆脱污名与偏见。

随着游戏的泛滥，网吧几乎成了癫痫的高发地，甚至还生出了一款新的现代社会文明病——“电子游戏癫痫症”。

我们就经常能看到类似的报道，某网瘾青年在网吧大战几十小时后，忽然倒地抽搐不已，癫痫发作。

癫痫又称为羊角风，是神经系统常见的疾病之一，源于大脑内部神经元的异常放电。

长时间的高分贝音效、图像等强烈刺激和颈部的僵直状态，都有可能是癫痫发作的诱因。

然而反过来，通过电子游戏竟也能治疗本身就罹患癫痫顽疾的病人。

在治疗中，医生会在病人头部“贴”上微电极，然后连接入电脑。

电脑启动后，医生便会鼓励病人玩屏幕上的“开飞机游戏”（控制类游戏）。

不同的是，常人要用手控制鼠标来决定路线，而患者则直接用头脑传出来的脑电波“操纵”飞机飞行。

如果她想得不对，飞机就会停飞或飞错地方，只要想的正确，才能一步步通关。

该项技术应用到了操作性条件反射原理，被称为“脑电生物反馈”。

通过这样一步步引导游戏者调整脑电波，可将病理波转化为正常人的生理波，达到治疗目的。

截至年，已有20多位高发性癫痫患者获得了显著的疗效。

当然肯定有人说，这种专门设计过的游戏，并不能算是“真正的游戏”。

毕竟这并不是我们日常接触的以娱乐为目的的游戏，疗效也并不是因为游戏本身的作用。

其实这一类电子游戏中也叫严肃游戏，被定义为“以应用为目的游戏”、“不以娱乐为主要目的的游戏”，多用于军事、教育与医疗上。

不过即使不加那么多花哨的技术，就极其普通的游戏本身，也能带来不少益处。

例如只要把控好游戏时间，一款普通射击游戏就能让你视力飙升。

我们常说的视力，其实不单纯是“能看到哪一行字母E”。

它还包括了其他视觉认知能力，如视觉敏锐度、对比灵敏度、色彩感知度和视觉广度。

譬如说，在生活中看东西需要识别边界清晰的物体，也要识别边界模糊的物体。

后者的能力，便是视力中的“对比灵敏度”。

像在背景和前景色差很小的情况下，就极其考验人眼的对比灵敏度，如夜间、雾天开车等。

达芙妮·巴莉菲娅的TED演讲，题目为《电子游戏中的大脑》

早在年，脑神经科学家达芙妮·巴莉菲娅（DaphneBavelier）率先做的一个实验，就证明了某些游戏能大幅提升视力，尤其是对比灵敏度。

她把志愿者分成三组，第一组玩射击类动作游戏；第二组玩非动作类游戏；而第三组则不玩游戏。

那些被要求玩游戏的志愿者，每周要完成10到15个小时的游戏任务，并且要保证每天都有游戏时间。

一个月后，玩射击动作类游戏成员的“对比灵敏度”竟大幅提高了43%。

而玩非动作类游戏和不玩游戏的组别，就没发生什么变化。

这43%的提升，日后或许就能使你在恶劣环境中驱车，逃过命中那一劫。

首先在射击游戏中，角色的着装往往是迷彩服或丛林野战服，与背景色十分相近。

如果不努力寻找，人眼很难从画面中找到敌人准确的位置。

为了能够更加清楚地看到目标，我们都会不自觉地“用力”看屏幕。

这时人眼中的睫状肌便会用力收缩，而水晶体则会相应便后，使眼前图像更为清楚。

就像健身一样，在高度紧张的游戏环境下，眼睛的肌肉就会得到相应锻炼。

此外，巴莉菲娅也提出一个全新的解读，或许电子游戏还能够优化人脑对眼界所收到的信号的翻译，从而使视力得到一定程度的提升。

除了对比敏感度的提高，实验中玩射击游戏的志愿者在动态视能、感光速度、反应速度、注意度等都有不同程度的提升。

而相比之下，不玩游戏或玩温和的非动作游戏，就无法达到这个境界了。

除了提升视力，巧用射击游戏还能治疗一些眼部疾病，例如弱视。

弱视通常是由斜视引起，即双眼同时注视指定目标时，由于注意力不平衡，双眼发育的异常。

针对弱视，当下最普遍的治疗方法，便是用眼罩遮住视力正常的眼睛。

这样能让患弱视的单眼得到更多使用的机会，提升视力，好让两只眼睛发育平衡。

然而这种遮光法不但效率不高，且极易受到孩子的抵触。

最有局限性的，还是大部分眼科医生都认为，此疗法在患者8岁以后就无效了。

因为大家普遍觉得，弱视只能在大脑处理视觉的区域发育的关键时期治疗才有效。

如果这种功能失常错过了矫正期，损害将不可逆转。

但是，年美国国立眼科研究所（NatinalEyeInstitete）的一项研究却不是这么说的——通过“电子游戏治疗”这些问题都有望迎刃而解。

实验一共有20名从15岁到61岁不等的弱视者参加，其中10人玩了40个小时动作类游戏，另10人玩了40个小时非动作游戏。

这40个小时游戏分为20次，每次两小时在一个月内完成。

在游戏中，他们正常的眼睛也要被眼罩遮起来。

实验后两组受试者，无论是成年人还是未成年人，视觉分辨力都平均提高了30%。

换算下来也就是说，短短40个小时内他们的视力在标准视力表中就整整提高了1.5行（0.15度），效果拔群。

而用普通遮光法，花费个小时，也仅仅能提升0.1度视力。

其实在电子游戏被发现有助视力恢复之前，科学家早就注意到了其在大脑认知上的无限潜力了。

脑科学研究的其中一个目标，就在于尽可能地开发脑潜能，提高人类认知功能。

然而，这方面的研究却一直非常缓慢。

其中一个重要的原因就是，目前已知的认知训练都局限于训练的任务，难以完成认知的“迁移”。

通俗的说，就比如我们花了几天训练一个人去记忆电话号码，之后他确实能又快又准地记住一些电话号码。

但如果将记电话号码换成记单词，他的能力还是和常人没什么差别。

这时，游戏的优秀之处就显露出来了。

在通过一段时间的射击类游戏训练后，游戏者在反应速度、注意力、视觉能力等方面均能获得优于常人的表现，真正做到认知能力的“迁移”。

除此之外，已有不少研究表明这种更优的认知能力，还能够维持长时间不下降。

所以，就其对认知能力上的潜能，已有不少科学家开始尝试将电子游戏应用到治疗各种与脑部相关的疾病。

如儿童多动症、自闭症、抑郁症、老年痴呆、精神分裂症等，都有不同程度的研究和成果。

不过说了这么多，最后还是得郑重地重申一下。

玩游戏的好处不少，但并不意味着玩越长时间的游戏，效果会更佳。

游戏的好处，对那些完全牺牲工作学习时间的人是毫无意义的。

除此之外，也并不是所有游戏都具有促进认知的效果和功能，需要经过详细且严谨的分析。

而且，在科学家还未完全搞清“游戏锻炼大脑”的具体机制前，并不建议盲目使用。

因为几个月前，蒙特利尔大学的一项新研究就表明，常玩动作游戏的人海马体中灰质会变少。

这项研究就提醒了那些想要用电子游戏来提升脑力的人群，应该慎之又慎。

海马体与记忆有关，能帮助人们确定身体朝向（空间记忆），并记住过往经历（情景记忆）。

例如出租车司机就被证实拥有发达的海马体，其中灰质更多的海马体也与更健康的大脑挂钩。

但大脑中还有另一个重要的部分——尾状核，属纹状体中的一个区域。

它是主导行为模式和乏味习惯形成的区域，比如在打字、骑单车、开车时，就能让你“不经过大脑”就能完成某项特殊技能。

然而尴尬的是，尾状核和海马体之间存在一个类似跷跷板似的平衡关系：你多我少，你少我多。

而海马体消耗萎缩得越严重，人就越有可能患上脑部疾病，如抑郁、精神分裂及阿兹海默症等。

志愿者脑部扫描显示海马体部分灰质消失

通过位志愿者，蒙特利尔大学的实验得出，50位玩射击动作类游戏的人就出现了显著的海马体灰质下降。

无疑，在动作类游戏中为追求更快的反应速度，游戏者会过度依赖尾状核，导致海马体萎缩。

只是让人意外的是，玩马里奥一类3D游戏不但没出现灰质减少，海马体甚至还更加发达了。

研究者解释道，在这类3D游戏中，游戏者需要运用到不少空间记忆来记住各种复杂的路线。

如在哪朵花开始拐弯，远离哪一个岩石等，这都会使大脑更多地调用到海马体。

不过，这实验可不能全面打翻那些将电子游戏用于疾病辅助治疗的研究。

此外，它反而还为学者和动作游戏的设计者提供了一些新的设计参考。

例如在游戏中不内置GPS或指路系统等，使游戏者更好的运用海马体中的空间记忆功能，抵消不良影响。

所以，我们不妨设想一下未来。

当你面对传统派的质疑“你成天玩游戏，是不是有病”时，就能大胆地回答“是啊，这不是正在治嘛”。

*参考资料

RenjieLi,UriPolat,WalterMakous,DaphneBavelier.Enhancingthecontrastsensitivityfunctionthroughactionvideogametraining.NatureNeuroscience..02.13

SarahYang,Mediarelations.Playingvideogameshelpsadultswithlazyeye.BerkeleyNews..08.31

电子游戏用于疾病辅助治疗的研究进展.科技导报.

Thinkstock.Playingactionvideogamescanactuallyharmyourbaian.MedicalEpress..08.08

年5月1日的美国高考数学卷有这样的一道题——

先审题：小圆的半径只有大圆的三分之一；如果小圆绕着大圆滚回原位，那么它转了多少圈？

我们动手实操一下。

大家看，小圆绕了大圆四分之一的时候，已经转了一圈了——

绕大圆一整圈的话，实际上小圆转了4圈。所以正确答案是4，并不在任何一个选项里。

根据出卷方美国大学理事会（CollegeBoard）的事后声明，这场美国高考出卷方的答案是错的，而在当时参与这场考试的30万考生里，只有3个考生给出了正确答案。

最后，证明是美国大学理事会做错了，除了那三人，所有人的分数都被扣回去了。

纽约时报年5月25日对这次高考数学题出错事件的报道（白框）

30万人里只有3人做对，其实是因为这个现象太不可思议了，因此它在数学上也得到了赐名——硬币悖论（coinparadox）。

如果是用两个半径一模一样的圆来玩的话，我们发现，其中一个绕另一个公转了半圈的时候，实际上它已经自转了度了。如果绕另一个圆公转一整周，那么它自转了度，也就是2圈。

这种题有没有套路解法呢？其实是有的，答案就是：公转的圆的圆心画出的圆的半径和这个圆的半径之比。在下图里，就是绿色的这个圆的半径和小圆的半径之比。

以年那道高考题为例，公转的圆心的轨迹是个圆，而且它的半径是小圆的4倍，所以是转4周。

如果两个圆直径一样，公转的圆心绕过的圆形轨迹的半径是它的2倍，所以是转2圈。

所以硬币悖论到底是怎么产生的呢？

大家来画重点了，硬币悖论的本质，在于公转的圆的每一个点画出的路径并不是圆形，而是腰子的形状——肾形线。

肾形线（红色）

如果两个圆半径相等，那么轨迹就是另外的器官——心脏线。孔子曰过，根据看问题的角度，这种线也可以看成屁股线。

心脏线（蓝色）

其实，解硬币悖论的思路也可以用来解答亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊倒了许多人的悖论。

在《论力学》（Mechanica）这本书中，问题很多的亚里士多德给大家出了这样一个问题：

一个半径为R轮子在地上滚一周，在没有发生滑动摩擦的情况下，轮子上每一个点行走的距离都是2πR对吧？

这个轮子可以看作是很多小轮子一个一个套娃套出来的。小轮子相对大轮子也没有发生滑动摩擦，大轮子滚一周，小轮子也滚一周。可是，小轮子的半径r明明比大轮子小啊，为什么小轮子上任意一点的行走距离也是2πR呢？

这个悖论也被称为亚里士多德饭桶圆桶悖论（Aristotleswheelparadox）。两千年来，这道题成了众多世界驰名理科生的送命题。

比如，伽利略的解法是，如果把圆形轮子看作是有很多个边的多边形构成的，那么小轮子在滚的时候，跳过了一些空隙...总之伽利略的意思是这样的——

多边形在滚动的时候，中间的小多边形上的任意一点是跳着前进的，并没有走完大多边形的全程。伽利略由此推论，圆形也是相同的情况。

这道题使他深信，如此一来，轮子就是用带有无穷多孔隙的材料制成的，因此物质必然是用很小的颗粒，也就是原子构成的。

等等教练，原子论还可以这样推？（大叔“嗯”音效）

但是利用做美国高考那道题的思路，我们就能越过伽利略的无穷脑“洞”，得到这个悖论的解法了。

实际上，和直觉不一样，大圆上的每一个点行走的路径长度并不是2πR，而是大于2πR，画出来是这样的线条，头秃吧。

这个线叫做摆线。

同理，小圆上的每一点画出来的轨迹也不是直线，也是摆线，只不过小圆的摆线长度比大圆的摆线要短，因为圆滚一周，摆线长度是半径的8倍。

亚里士多德的这个悖论还可以得出集合论中的一个推论：不管2段线段各自有多长，它们所拥有的点的数量都是一样的；任何一个线段上的任何一点，都可以在另一个线段上找到对应物。

这个推论放到整数里也是成立的：所有偶数的数量等于所有整数的数量。

话说回来，其实在生活中屁股线还挺常见的。

相信你见过圆形杯子里液面的这种柯基臀部形状的反射光斑吧——

圆锥形杯子里液面的心脏线

它就是屁股线的形状。这是因为，当入射光和圆锥斜边，也就是杯壁平行时，圆锥的回光线（一束光射到曲面上，反射回来的线条）就是屁股线。

在液面，入射光在锥形杯壁的反射光可被看作点光源，它会形成新心脏线形状的回光线。

屁股线还有和日常生活中一个大家熟悉，但始终不明白原理的现象有关。

歌手们飙高音的时候，为什么要把麦拿远呢？

其实，这是因为大多数的麦，也就是风靡了50年的SM58麦接收声音的范围是屁股线勾勒出的屁股形状的——

大多数麦克风是心型指向的，也就是说只有在心形区域的声音，才能得到有效接收。

这种麦也叫心型指向的，它可以有效屏蔽麦克风后面的声音，比如观众声浪的声音。所以歌手们要让粉丝合唱的时候，就必须把麦对准观众。

心型指向的麦克风可以有效屏蔽麦克风后面的声音

心型指向的麦克风还有一个特点，那就是拿太近时会产生近接效应（proximityeffect）——低音会放大。反之，拿远的时候，低音炮就被弱化了。所以在飙高音的时候，为了突出高音部分，KTV歌手们就会把麦拿远。

我们来看一下这个大哥的实地演示——

近接效应：心型指向的麦克风靠近声源时，低音部会被放大，反之减弱。

全向式麦克风，也就是可以接受以麦克风为中心的球内的声音的那种就没有这种现象。

懂了，学好数学，喝个奶茶唱个K都是腚记你的形状。

数学学习“第一性原理”

数学的起点是数学符号。

----数学之王DavidHilbert

1.“听而不懂”、“懂而不会”、“会而不对”、“对而不全”的底层原因

有一项研究，对近名初中师生，通过问卷调查、访谈、数学测试等手段，了解数学阅读中有哪些障碍影响了学生的理解。

最后经过统计分析得出，初中生在数学阅读过程中具体有障碍的内容如下:

(1)、含数学符号较多且符号较抽象的内容;

(2)、含有抽象公式的内容，特别是对公式单纯解释的内容:

(3)、含有专业术语的内容;

(4)、涉及到三种数学语言之间转换的内容

(5)、知识点零散，需要学生归纳和类比的内容;

(6)、空间感要求较强，并且涉及这画图等实际操作的内容;

(7)、涉及到现实中的问题抽象数学知识的内容。

很容易发现排名前四项的数学阅读障碍都涉及到数学符号；

另外对小学和初中数学教材中的数学概念、数学符号、数学图表、数学公式、数学定理、数学关键词进行分类统计的结果表明：

小学生平均每学期要掌握4个数学关键词、26个数学概念、5个数学专业符号、3个数学图表、3个数学公式或定理。

整个小学阶段，学生需要学习和掌握个数学符号。

初中生平均每学期要掌握4个数学关键词、67个数学概念、12个数学专业符号、15个数学图表、22个数学公式或定理。

整个初中阶段，学生需要学习和掌握个数学符号。

从数量上看，初中阶段数学符号的教学任务比小学阶段增加了近一倍，而教学时间却减少了一半。到了高中阶段，数学符号的数量再增加一倍，必将使数学学习变得更加困难。

这些数据表明，随着年级增加，数学符号的数量在急剧增加，形式也越来越简洁，数学符号包含的意义也越来越复杂。

但很多学生的数学符号意义获取能力却仍处在低水平，

没有进行刻意训练和得到相应提升，

这是导致随着年级的增加，许多学生感觉数学越来越难学、越来越枯燥，普遍出现“听而不懂”、“懂而不会”、“会而不对”、“对而不全”的根本原因。

（年浙江高考数学最后一题部分解析）

2.数学符号是数学学习的起点

第一性原理

根据原子核和电子相互作用的原理及其基本运动规律，运用量子力学原理，从具体要求出发，经过一些近似处理后直接求解薛定谔方程的算法，习惯上称为第一性原理。

埃隆·马斯克（ElonMusk），是PayPal、SpaceX太空探索技术公司、环保电动汽车公司特斯拉（Tesla）以及SolarCity四家公司的CEO。

除了造特斯拉电动汽车，还造火箭发射火箭运卫星，还认真的提出了火星移民计划。他是现实中的钢铁侠，相信大部分人都知道他。

年第一性原理会突然在互联网火爆起来，创业者们如获圣经各种解读，每个创业者见到投资人被问的第一句话就是，你这个商业模式第一性原理是什么。

为什么投资人会这么问，这就是因为硅谷钢铁侠埃隆马斯克，他告诉大家他成功的秘密是运用了第一性原理作为思考的框架：

打破一切知识的藩篱，回归到事物本源去思考基础性的问题，在不参照经验或其它的情况下，从物质/世界的最本源出发思考事物/系统。

“我相信有一种很好的思考架构，就是第一性原理，我们能够真正地去思考一些基础的真理，并且从中去论证，而不是类推。

我们绝大多数时候都是类推地思考问题，也就是模仿别人做的事情并加以微幅更改。但当你想要做一些新的东西时，必须要运用第一性原理来思考。”埃隆如是说。

"第一性原理”的思考方式是用物理学的角度看待世界的方法，也就是说一层层剥开事物的表象，看到里面的本质，然后再从本质底层一层层往上走。

数学学习中的第一性原理

数学学习中最核心的能力是数学自学能力，

数学自学能力的起点和核心则是数学阅读能力，

数学阅读能力最本质的表述就是数学语言能力，

数学语言能力中最核心的表现是对数学概念的理解和掌握，

而数学概念作为数学思维的细胞，它的构成元素就是数学符号。

正因如此英国著名数学家罗素曾说:“数学是什么?数学就是符号加逻辑”，

德国著名数学家，20世纪最伟大的数学家之一，被后人称为“数学世界的亚历山大”的希尔伯特，更是直接说“数学的起点是数学符号”。

所以我们可以总结出：“数学的起点是数学符号”就是数学学习中的第一性原理。

数学符号的分类

数学符号就是在数学中用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号。

如记号V表示体积、二次根式的数学概念符号表示为“√￣”、表示数学关系的符号，如，＝、、≈、＜、sin等。

类比语文和外语语言的学习，根据数学符号意义不同，数学符号可分为四类：

(1)数学元素符号或数学词素

元素符号是指有明确数学意义，但不能独立表示数学对象，需要与其他符号联结才能表征数学信息的符号。

元素符号是最小的记号单位，只是一些简单的笔画或音阶，但它是组成概念符号的基本元素。

如构造英语单词的26个字母，构造汉字的各种笔画等。

(2)数学概念符号

数学概念符号是指表示一个或多个确定的数学对象的符号。

它一般由元素符号或一个单独的数学符号组成。

数学概念符号是表征数学对象的基本单位或最小单位，即表示某个确定认识对象的概念符号无法再分拆，分拆后的符号或者没有意义，或者不再表示当前的认识对象而表示其他的认识对象。

数学语言中的数字符号、字母符号、关系符号、运算符号等单个符号是概念符号。

如√2、f(x)、(x,y)都是概念符号。

(3)数学命题符号

数学命题符号一般由元素符号和概念符号组成，指代的是对事物的一个判断。

数学命题符号是为了表示认识对象自身的各种属性，或不同认识对象之间各种关系的一个判断或陈述，而将不同的概念符号按照约定的组合规则联结而成的符号序列，即通常所说的“句子”。

命题符号是表示信息的基本单位或最小单位。

例如，数学中的各种定理、法则公式等指代的是对事物的一个判断。

(4)数学文本符号

文本符号是为了详细描述与某一主题相关的事物的性质或关系而把相关的命题符号串联或组合起来的符号序列。

根据主题的从属关系，文本符号可分别称为段、节、章、篇等。

从形式上看，文本符号至少含有两个以上的命题符号，即命题符号是文本符号的基本单位。

一般情况下，依次从句、段、节、章到篇，符号的意义越来越复杂，只有获得前者的“言外之意"才能较好地把握后者的主题，获得后者的意义有助于发现前者的“言外之意”。

因此，在阅读文章时，后面的阅读有助于对前面文字符号的理解，阅读完全部文章后再读前面的文字又会有新的理解，而隔一段时间后再重读文章又会有新的体会，而这些体会往往又真正是文章本身意义的。

类比语文和外语阅读来说，最基本的障碍是对字、词、句、文章结构的理解，只有这些基础的知识都弄懂了，才能有更高层次的认识。

所以数学阅读的根源也在于对数学符号的理解:图像图表、数学专业符号、抽象公式、专业术语、三种数学语言之间的转化等。这些都是数学教材中的基础细胞，也是在数学阅读过程中不容易理解的地方，

3.数学符号意识的构成框架

一数学符号的感知

数学符号的感知是对数学符号的直观认识，不仅包括感知、理解数学符号本身所特有的含义，也包括数学符号之间相互关联性。

数学符号感知能力的培养目标是：

理解数学符号的意义及数学符号之间的关系，

能够体会不同情境下数学符号具有不同的意义和作用。

二数学符号的运算

数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，运算是根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程。

核心是基于数学运算的符号操作，符号操作作为解决代数问题的一个重要补充，是需要学生必须掌握的数学技能之一。

数学符号的运算所得结果的一般性体现出数学符号的本质特征，数学符号的运算包含3个阶段:

具体数字运算阶段;

符号形式上的运算阶段;

符号程式化运算阶段，

这方面的学习能力建设目标是：

能够利用数学符号类比数字进行运算，

并能解释运算的结果具有一般性，

从算理层面理解数学符号的运算。

三数学符号的推理

数学符号的推理包括合情推理和演绎推理。

合情推理的基本思路是“通过经验过的东西推断没有经验过的东西”，它是形成数学猜想的重要途径，是一种从特殊到一般的推理形式，正如史宁中教授所说:“数学的结果是看’出来的，而不是证’出来的。”

但是这里的结果未必是真的，需要通过演绎推理对其真伪加以验证，演绎推理是一种从一般到特殊的推理形式。

在数学符号进行推理时，我们追求的是：

不仅可以通过合情推理得到结论，

还能够从一般的概念、公理水平出发，对所得结论利用演绎推理进行论证，

并能够判断所得结论的真假，具备猜想-证明的推理思维水平。

四数学符号的表达

发展数学符号意识，提升符号意义获取能力，最重要的是从数学符号的角度运用数学符号系统进行数学表达，使数学问题的解决呈现一定的规律，从而避免杂乱无章信息的干扰，并从中发现一些共性的东西，提升有序思维。

数学符号的表达有3种表现:

数学对象和数学关系的符号化;

利用数学符号进行数学表达;

多种数学符号之间的相互关系及其转化。

在进行数学符号表达时，我们的追求的是：

理解数学符号表达的多样化，

能够选择一种可行的数学符号表达式表征问题，并能够根据需要及时替换，

知道何时选择其他方法或者寻求更容易简练的数学符号表征方式(表格、图形、关系式)解决问题，对于数学符号的表达是灵活的。

4.提升数学符号意识的建议

一阅读经典数学符号史书籍

“学习这么多的数学概念到底有什么用？”

“为什么用这个符号来表示这类概念？”

“使用这么多的数学符号就不会使数学变得更加复杂吗？”

“现在学到的数学知识感觉在现实生活中没有用？”

让孩子阅读经典的数学符号史书籍是寻找以上问题答案的一个很好选择。

数学符号史是关于数学概念符号产生和发展的历史，它揭示了数学概念符号是如何伴随着数学概念的产生而产生与发展的。

了解数学符号的产生历史可以帮助数学符号的学习，理清数学符号的来龙去脉可以更好地理解数学符号的意义。

因为多数数学符号很抽象，学生往往不愿意记忆和运用。相对于数学符号语言，学生更容易理解文字描述。

尤其是对中学生，数学的学习几乎都要以符号的学习为基础，这加大了数学的学习难度。数学符号表示的数量关系更为复杂，富于变化。

这就需要学生在理解数学符号特点的基础上，遵循数学符号的历史来源和变化规律，抓住数学符号定义的本质进行整理和记忆，才能进一步找到解决问题的思路。

一个数学符号的历史可以恢复对相关问题的合情推理，以此找到更准确和有效的学习方法。在这种方式中，能开拓学生的视野，使学生更深刻地理解数学符号。

从改变这样的现状开始，一步一步，通过联系数学符号史可以逐步提高学习数学符号的兴趣。

学生发现数学符号的变化过程有助于提高学生的认知能力，也有利于培养学生的数学创造能力。

追寻符号史轨迹，凸显概念本质，就是要让学生沿着概念及其符号产生和发展的历史轨迹，去经历祖先之经历，让他们也像那些伟大的数学家一样去“发明”数学，体会蕴含在其中的思想方法。

只有让学生沿着数学家们创造数学符号的路径来构建数学符号，学生才能以一种平缓渐进的方式接受数学符号。

这样做既可以让学生了解数学符号所代表的内容，又能让学生掌握它所具有的内涵，让学生知道所学习的数学符号是数学思想、方法的依托物，而不是一个死板的记号。

对数学符号的产生过程有了较深了解后，数学符号就会生动有趣起来，学生对数学符号就能获得更多的意义，从而产生更多亲近感。

二培养阅读数学教材的习惯

我国著名教育家叶圣陶有句名言:“教是为了不教”，根据心理学的认知规律培养学生的自学能力，是影响整个教育成功与否的关键，而实施自学能力的培养无疑是先从数学教材做起。

数学教科书和教师用书是数学课程的具体化，不仅是数学教学的主要依据，而且是学生进行学习获得系统知识的主要材料。

它体现了数学的科学性和思想性，在加强数学基础知识和基本技能的同时结合现实生产、生活、社会实际，并适当渗透先进的科学思想。

既反映了作为科学的数学的特点，又考虑到学生学习的心理顺序，是培养学生阅读能力的最佳材料．

要学习的数学定义、数学命题和数学例题，教材中写得很详细清楚。

但如果孩子不认真阅读，或只是走马观花地看一下，而没有真正钻进去，就不可能真正感受到数学符号的魅力。

即使通过教师的课堂讲解，学生明白了数学知识，也无法将这些数学知识与数学符号建立联系。

因为“听”与“看”运用的是不同的感官，感知的是不同的记号，一般会获得不同的感知效果。

比如，我们听人讲故事，可以很轻松地记住故事的梗概，可以记住他的某些话，但却无法记住这些话所对应的词语。

所以，学生能听懂课堂上教师讲的数学知识，课后却不会做题，一个主要原因就在于数学语音符号与数学书面符号之间的本质差异。

这也是学生对数学知识理解得糊糊涂涂，作业中错误百出的重要原因。

阅读数学文本时，首先要认识文本中的每一个符号，回忆符号的字面信息，然后根据语法规则将不同的符号联结成字、词句、段，获得数学文本的字面意义，这些基本意义构成了数学符号感和数学学习能力的基础。

随着数学知识的增加数学经验的积累和数学能力的提高相关的数学符号就会形成一种稳定的结构或关系。

当它们出现时，阅读者就会自动地激活相关的经验知识，从而获得数学符号之外的情境性意义，发掘潜藏在数学符号背后的信息，这种信息就属于数学符号感。

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